3.298 \(\int \frac{\sec ^n(e+f x)}{(1+\sec (e+f x))^{3/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=62 \[ \frac{\tan (e+f x) F_1\left (\frac{1}{2};1-n,2;\frac{3}{2};1-\sec (e+f x),\frac{1}{2} (1-\sec (e+f x))\right )}{2 f \sqrt{\sec (e+f x)+1}} \]

[Out]

(AppellF1[1/2, 1 - n, 2, 3/2, 1 - Sec[e + f*x], (1 - Sec[e + f*x])/2]*Tan[e + f*x])/(2*f*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]
])

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.0802565, antiderivative size = 62, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 3, number of rules used = 3, integrand size = 21, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.143, Rules used = {3825, 130, 429} \[ \frac{\tan (e+f x) F_1\left (\frac{1}{2};1-n,2;\frac{3}{2};1-\sec (e+f x),\frac{1}{2} (1-\sec (e+f x))\right )}{2 f \sqrt{\sec (e+f x)+1}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Sec[e + f*x]^n/(1 + Sec[e + f*x])^(3/2),x]

[Out]

(AppellF1[1/2, 1 - n, 2, 3/2, 1 - Sec[e + f*x], (1 - Sec[e + f*x])/2]*Tan[e + f*x])/(2*f*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]
])

Rule 3825

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> -Dist[(((a*
d)/b)^n*Cot[e + f*x])/(a^(n - 2)*f*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[a - b*Csc[e + f*x]]), Subst[Int[((a - x)^(n -
1)*(2*a - x)^(m - 1/2))/Sqrt[x], x], x, a - b*Csc[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2
- b^2, 0] &&  !IntegerQ[m] && GtQ[a, 0] &&  !IntegerQ[n] && GtQ[(a*d)/b, 0]

Rule 130

Int[((e_.)*(x_))^(p_)*((a_) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> With[{k = Denominator[p]
}, Dist[k/e, Subst[Int[x^(k*(p + 1) - 1)*(a + (b*x^k)/e)^m*(c + (d*x^k)/e)^n, x], x, (e*x)^(1/k)], x]] /; Free
Q[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && FractionQ[p] && IntegerQ[m]

Rule 429

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[a^p*c^q*x*AppellF1[1/n, -p,
-q, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a), -((d*x^n)/c)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[n
, -1] && (IntegerQ[p] || GtQ[a, 0]) && (IntegerQ[q] || GtQ[c, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\sec ^n(e+f x)}{(1+\sec (e+f x))^{3/2}} \, dx &=\frac{\tan (e+f x) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{(1-x)^{-1+n}}{(2-x)^2 \sqrt{x}} \, dx,x,1-\sec (e+f x)\right )}{f \sqrt{1-\sec (e+f x)} \sqrt{1+\sec (e+f x)}}\\ &=\frac{(2 \tan (e+f x)) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\left (1-x^2\right )^{-1+n}}{\left (2-x^2\right )^2} \, dx,x,\sqrt{1-\sec (e+f x)}\right )}{f \sqrt{1-\sec (e+f x)} \sqrt{1+\sec (e+f x)}}\\ &=\frac{F_1\left (\frac{1}{2};1-n,2;\frac{3}{2};1-\sec (e+f x),\frac{1}{2} (1-\sec (e+f x))\right ) \tan (e+f x)}{2 f \sqrt{1+\sec (e+f x)}}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 16.7738, size = 2990, normalized size = 48.23 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[Sec[e + f*x]^n/(1 + Sec[e + f*x])^(3/2),x]

[Out]

(6*AppellF1[1/2, -3/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*Sec[e +
f*x]^(1/2 + (-3 + 2*n)/2)*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(3/2 + n)*Tan[(e + f*x)/2]*(-1 + Tan[(e + f*x)/2]
^2)^2)/(f*(1 + Sec[e + f*x])^(3/2)*(3*AppellF1[1/2, -3/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2
]^2] + (2*(-1 + n)*AppellF1[3/2, -3/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-3 + 2*n)*A
ppellF1[3/2, -1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)*((12*AppellF1
[1/2, -3/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[e + f*x]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^(1 + n)
*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(3/2 + n)*Tan[(e + f*x)/2]^2*(-1 + Tan[(e + f*x)/2]^2))/(3*AppellF1[1/2, -3
/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2*(-1 + n)*AppellF1[3/2, -3/2 + n, 2 - n, 5/2,
Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-3 + 2*n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2,
-Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) + (3*AppellF1[1/2, -3/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(
e + f*x)/2]^2]*Cos[e + f*x]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^(1 + n)*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(3/2 + n)*(-1 + Tan
[(e + f*x)/2]^2)^2)/(3*AppellF1[1/2, -3/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2*(-1 +
n)*AppellF1[3/2, -3/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-3 + 2*n)*AppellF1[3/2, -1
/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) - (6*AppellF1[1/2, -3/2 + n,
1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])
^(3/2 + n)*Sin[e + f*x]*Tan[(e + f*x)/2]*(-1 + Tan[(e + f*x)/2]^2)^2)/(3*AppellF1[1/2, -3/2 + n, 1 - n, 3/2, T
an[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2*(-1 + n)*AppellF1[3/2, -3/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2,
-Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-3 + 2*n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]
)*Tan[(e + f*x)/2]^2) + (6*n*AppellF1[1/2, -3/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[
e + f*x]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(3/2 + n)*Tan[(e + f*x)/2]^2*(-1 + Tan[(e +
f*x)/2]^2)^2)/(3*AppellF1[1/2, -3/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2*(-1 + n)*Ap
pellF1[3/2, -3/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-3 + 2*n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n
, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) + (6*Cos[e + f*x]*(Sec[(e + f*x)/2
]^2)^n*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(3/2 + n)*Tan[(e + f*x)/2]*(-((1 - n)*AppellF1[3/2, -3/2 + n, 2 - n,
5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3 + ((-3/2 + n)*AppellF1[3/
2, -1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3)*(-1
+ Tan[(e + f*x)/2]^2)^2)/(3*AppellF1[1/2, -3/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2*
(-1 + n)*AppellF1[3/2, -3/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-3 + 2*n)*AppellF1[3/
2, -1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) - (6*AppellF1[1/2, -3/2
+ n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[e + f*x]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*(Cos[(e + f*x)/
2]^2*Sec[e + f*x])^(3/2 + n)*Tan[(e + f*x)/2]*(-1 + Tan[(e + f*x)/2]^2)^2*((2*(-1 + n)*AppellF1[3/2, -3/2 + n,
2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-3 + 2*n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e
+ f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2] + 3*(-((1 - n)*AppellF1[3/2, -3/2 + n,
2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3 + ((-3/2 + n)*Appe
llF1[3/2, -1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/
3) + Tan[(e + f*x)/2]^2*(2*(-1 + n)*((-3*(2 - n)*AppellF1[5/2, -3/2 + n, 3 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[
(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5 + (3*(-3/2 + n)*AppellF1[5/2, -1/2 + n, 2 - n, 7/2, Tan
[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5) + (-3 + 2*n)*((-3*(1 - n)*Appell
F1[5/2, -1/2 + n, 2 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5
+ (3*(-1/2 + n)*AppellF1[5/2, 1/2 + n, 1 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2
*Tan[(e + f*x)/2])/5))))/(3*AppellF1[1/2, -3/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2*
(-1 + n)*AppellF1[3/2, -3/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-3 + 2*n)*AppellF1[3/
2, -1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)^2 + (6*(3/2 + n)*Appell
F1[1/2, -3/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[e + f*x]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*(Co
s[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(1/2 + n)*Tan[(e + f*x)/2]*(-1 + Tan[(e + f*x)/2]^2)^2*(-(Cos[(e + f*x)/2]*Sec[
e + f*x]*Sin[(e + f*x)/2]) + Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x]))/(3*AppellF1[1/2, -3/2 + n, 1 - n,
3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2*(-1 + n)*AppellF1[3/2, -3/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/
2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-3 + 2*n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)
/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.144, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{ \left ( \sec \left ( fx+e \right ) \right ) ^{n} \left ( 1+\sec \left ( fx+e \right ) \right ) ^{-{\frac{3}{2}}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(sec(f*x+e)^n/(1+sec(f*x+e))^(3/2),x)

[Out]

int(sec(f*x+e)^n/(1+sec(f*x+e))^(3/2),x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\sec \left (f x + e\right )^{n}}{{\left (\sec \left (f x + e\right ) + 1\right )}^{\frac{3}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sec(f*x+e)^n/(1+sec(f*x+e))^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sec(f*x + e)^n/(sec(f*x + e) + 1)^(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (\frac{\sec \left (f x + e\right )^{n} \sqrt{\sec \left (f x + e\right ) + 1}}{\sec \left (f x + e\right )^{2} + 2 \, \sec \left (f x + e\right ) + 1}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sec(f*x+e)^n/(1+sec(f*x+e))^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral(sec(f*x + e)^n*sqrt(sec(f*x + e) + 1)/(sec(f*x + e)^2 + 2*sec(f*x + e) + 1), x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\sec ^{n}{\left (e + f x \right )}}{\left (\sec{\left (e + f x \right )} + 1\right )^{\frac{3}{2}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sec(f*x+e)**n/(1+sec(f*x+e))**(3/2),x)

[Out]

Integral(sec(e + f*x)**n/(sec(e + f*x) + 1)**(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\sec \left (f x + e\right )^{n}}{{\left (\sec \left (f x + e\right ) + 1\right )}^{\frac{3}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sec(f*x+e)^n/(1+sec(f*x+e))^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(sec(f*x + e)^n/(sec(f*x + e) + 1)^(3/2), x)